1. Vectơ chỉ hướng của đường thẳng.
Định nghĩa:
Vectơ \(\vec{u}\) được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(∆\) khi \(\vec{u}\) khác \(\vec{0}\) và có hướng song song hoặc trùng với \(∆\).
Phần mềm hoạt động hiệu quả như một công cụ tái viết tiếng Việt, sử dụng từ đồng nghĩa phù hợp với ngữ cảnh để thay thế các từ trong đoạn văn đầu vào. Đoạn văn đầu vào sẽ được sửa đổi và trả về kết quả đoạn văn đã chỉnh sửa. Dưới đây là ví dụ nhập vào:Đầu vào: Viện Hải dương học Nha Trang là một điểm đến lý thú với nhiều lứa tuổi.Kết quả: Viện Hải dương học ở Nha Trang là một địa điểm thú vị cho m
Đối với đường thẳng \(∆\), nếu \(\vec{u}\) là một vectơ chỉ phương của nó, thì \(k\vec{u} ( k≠ 0)\) cũng là một vectơ chỉ phương của \(∆\). Do đó, đường thẳng \(∆\) có vô số vectơ chỉ phương.
– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
2. Phương trình biểu diễn của đường thẳng theo tham số.
Đường thẳng \(∆\) có phương trình tham số đi qua điểm \(M_0\) có tọa độ \((x_0, y_0)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{u} = (u_1, u_2)\).
\(∆\) : \(\Left\{\begin{matrix} x= x_{0}+tu_{1}& \\ y= y_{0}+tu_{2}& \end{matrix}\right.\)
Khi \(u_1≠ 0\) thì tỉ lệ \(k= \dfrac{u_{2}}{u_{1}}\) được gọi là hệ số góc của đường thẳng.
Từ đây, chúng ta có phương trình đường thẳng \(∆\) đi qua điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\) và có hệ số góc k là:
\(Y – y_0 = k(x – x_0)\).
Lưu ý rằng chúng ta đã biết hệ số góc \(k\) là bằng cấp số nhân của góc \(α\), trong đó góc \(α\) là góc mà đường thẳng \(∆\) tạo với trục \(Ox\) theo chiều dương.
3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng.
Vectơ \(\vec{n}\) được xem là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(∆\) khi \(\vec{n}\) không bằng \(\vec{0}\) và vuông góc với vectơ chỉ phương của \(∆\).
Nhận xét:.
Nếu có một vectơ pháp tuyến \(\vec{n}\) cho đường thẳng \(∆\), thì việc nhân \(\vec{n}\) với một số \(k\) khác không cũng sẽ tạo ra một vectơ pháp tuyến khác của \(∆\). Do đó, đường thẳng \(∆\) có vô số vectơ pháp tuyến.
Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến tương ứng của nó.
4. Phương trình tổng quát của đường thẳng.
Phương trình \(ax + by + c = 0\) với \(a\) và \(b\) không cùng bằng \(0\) được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.
Tình huống đặc biệt:
Nếu \(a = 0 => y = \dfrac{ -c}{b}; ∆ song song với trục Ox\) hoặc trùng với trục Ox (khi c=0).
Nếu \(b = 0 => x = \dfrac{ -c}{a}; ∆ // Oy\) hoặc cùng Oy (khi c=0).
Nếu \(c = 0 => ax + by = 0 => ∆\) đi qua điểm xuất phát.
Nếu đường thẳng \(∆\) cắt trục \(Ox\) tại điểm \(A(a; 0)\) và trục \(Oy\) tại điểm \(B(0; b)\), thì ta có phương trình đoạn chắn của đường thẳng \(∆\) là:
\(\Dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1\).
5. Vị trí so sánh của hai đường thẳng.
Xem xét hai đường thẳng ∆1 và ∆2.
Có phương trình chung theo thứ tự là :.
A1x+b1y + c1 = 0 và a2x+b2y +c2 = 0.
Để điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\) là điểm chung của hai đường thẳng ∆1 và ∆2, thì cặp số \((x_0 ;y_0)\) phải là nghiệm của hệ hai phương trình sau đây:
(1) \(\left\{\begin{matrix} a_{1}x+b_{1}y +c_{1} = 0& \\ a_{2}x+b_{2}y+c_{2}= 0& \end{matrix}\right.\).
Chúng ta có những tình huống sau đây:
A) Hệ (1) có một giải pháp duy nhất: ∆1 giao ∆2.
B) Hệ (1) không có nghiệm: ∆1 // ∆2.
C) Hệ (1) có vô số giải pháp: ∆1 \( \equiv \)∆2.
6. Góc giữa hai đường thẳng.
Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 giao nhau tạo thành bốn góc.
Nếu ∆1 và ∆2 không vuông góc với nhau, thì trong số bốn góc đó, có một góc được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2.
Nếu ∆1 vuông góc với ∆2 thì ta nói góc giữa ∆1 và ∆2 là 90 độ.
Trường hợp ∆1 và ∆2 cùng hướng hoặc không gian nhau thì ta quy ước góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 00.
Như vậy góc giữa hai đường thẳng luôn nhỏ hơn hoặc bằng 900.
Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được ký hiệu là \(\widehat{(\Delta _{1},\Delta _{2})}\).
Đưa ra hai đường thẳng:.
∆1: a1x+b1y + c1 = 0.
∆2: ax2+by2 + c2 = 0.
Gọi \(\varphi\) = \(\widehat{(\Delta _{1},\Delta _{2})}\).
\(\Cos \varphi\) = \(\dfrac{|a_{1}.A_{2}+b_{1}.B_{2}|}{\sqrt{{a_{1}}^{2}+{b_{1}}^{2}}\sqrt{{a_{2}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}\).
Chú ý:.
\({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {n_1} \bot {n_2}\) \( \Leftrightarrow {a_1}.{A_2} + {b_1}.{B_2} = 0\).
Nếu hai đường thẳng \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có phương trình lần lượt là y = k1 x + m1 và y = k2 x + m2 thì.
\({\Delta _1} \bot {\Delta _2} \Leftrightarrow {k_1}.{K_2} = – 1\).
7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng.
Trên mặt phẳng \(Oxy\), đường thẳng \(∆\) có phương trình \(ax+by+c=0\) và điểm \(M_0(x_0 ;y_0)\).
Khoảng cách từ điểm \(M_0\) tới đường thẳng \(∆\) được kí hiệu là \(d(M_0,∆)\), được tính bằng công thức.
\(D(M_0,∆)=\frac{|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\).
Loigiaihay.Com.
